✎☛ Raisonnement par l'absurde

Méthode

On veut démontrer une propriété.
Effectuer un raisonnement par l'absurde, c'est supposer que cette propriété est fausse et aboutir à une contradiction.

Autrement dit
On veut démontrer une propriété qui est une implication P ⇒ Q.
Effectuer un raisonnement par l'absurde, c'est supposer que P est vraie et que Q est fausse et aboutir à une contradiction, ce qui entraîne que Q est vraie. (En effet, P vraie et Q fausse est le seul cas où l'implication P ⇒ Q est fausse.)

Énoncé 1

Soit \(x\) et \(y\) deux réels. Démontrer par l'absurde l'implication suivante : « Si \(x^2+y^2=0\), alors \(x=y=0\). »

Solution

Supposons que \(x\neq 0\) ou \(y\neq 0\). Alors \(x^2+y^2\) étant une somme de deux quantités positives dont l'une est non nulle, elle est elle-même non nulle, ce qui est contradictoire avec l'hypothèse \(x^2+y^2=0\).

Énoncé 2

Soit \(x\) et \(y\) deux nombres réels tels que \(x\) est rationnel et \(y\) est irrationnel. Démontrer, par l'absurde, que \(x+y\) est irrationnel.

Solution

On suppose que \(x+y\) est rationnel. On appelle \(z=x+y\) ce nombre.
Comme \(y=z-x\) est une différence de deux nombres rationnels, il est lui-même rationnel, ce qui est contradictoire avec le fait qu'il soit supposé irrationnel.